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个人利益和社会公平的博弈--Arrow不可能性

作者:双核期刊发表网; 更新时间:2018-04-18

        摘 要加row不可能性定理是社会选择理论的一个重要理论,定理揭示出如果将个人的偏好加总成社会的偏好,不存在一种理性的规则,即不存在集体决策的完美规则。本文通过分析加∞w社会福利函数框架的基本结构,探讨加T0w社会福利函数框架的分析思路,明晰社会选择理论的基本问题、加T0w福利函数框架的核心定理;对不可能定理的逻辑分析证明使定理内部结构的逻辑蕴涵更为清晰,展示了最具有普遍概括性的理论,在一定固有条件下,把一个有限个体集的偏好聚合成一个群偏好序是不可能的;从而体现了加Tow不可能性定理在整个社会选择理论体系中的核心价值和重要贡献,及Am)w不可能性定理深刻的现实背景及广阔的应用前景。加Tow不可能性定理用数理逻辑求解个人利益与整体利益的关系,不仅获得经济学诺贝尔奖,而且成为哲学社会科学中的一个根本性定理。知Tow提示,社会选择应当满足于个人选择的自由、社会选择和个人价值选择的关联等五个“自然条件”。A玳删证明不存在如何一种社会选择方法能同时满足以上五个条件。也就是说,人们根本不可能找到一个令人满意的选择。社会选择理论的研究重点和主要内容基本上都是围绕阿罗不可能性定理展开,通过对该不可能性定理中一项或几项条件的修改,使不可能性定理转变为可能性定理。‘‘AnDw不可能性定理”获得诺贝尔奖,表明这个定理居于一定的真理性。它对我们的启示是:在现实生活中,追求最优、最好、最理想、完善无缺、十全十美几乎是不可能的。天下事,利弊相随,有利就有弊。打开窗户,在进来新鲜空气的同时,也会飞进苍蝇蚊子…..本文在绪论部分我们简要介绍—咖w不可能性定理的理论背景;在第一章中,我们先给出加Tow福利函数的相关语言、基本概念及加Tow不可能性定理。所要解决的问题集中在第 三、四章,主要介绍加row定理直观的两种证明和一阶逻辑对A嗍r不可能性定理的形式证明,刻画出不可能性定理公理系统,并构造出加Tow不可能性定理一阶逻辑的语言和模型,进一步得到其完全性证明。西南大学硕士学位作品 摘要提出一个问题往往比解决一个问题更重要。加row开创了社会选择理论,虽然得到的结论是构建社会选择函数的不可能,但提出了一个前景广泛、意义深刻的研究课题,激起人们对该领域的研究与探索,力求进一步完善社会选择理论。

       关键词:社会福利函数; 个体偏好和群体偏好; 一阶逻辑; 形式化证明

        第一章绪论
      1.1理论背景社会选择理论探讨的是如何将存在冲突的个人偏好聚合(aggregate)为群体或社会偏好,从而奠定群体决策的理性基础。例如,投票选举、市场机制等。从形式上看社会选择是典型的群决策问题,但从更深的层次分析,社会选择理论研究的是“个人价值与社会选择之间的冲突与一致性的条件”【-捌。假如有一个非常民主的群体,或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会,对它来说,群体中每一个成员的要求都是同等重要的【2】。一般地,对于最应该做的事情,群体的每一个成员都有自己的偏好【3】。为了决策,就要建立一个公正而一致的程序,能把个体的偏好结合起来,达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序,对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了【2】。社会选择的基本问题就是如何将众多社会成员的偏好转化成一个合理的社会偏好【2_6】,也就是根据个人偏好来做出集体决策的问题。社会选择问题研究本质上讲都是一种规范性研究,即在给定理性假设的基础上,构造“理想”的合理指标体系,并设计(或寻找)满足该指标体系的社会选择规则和表决程序【z·,·6】。现代社会选择理论肇始于著名经济学家、1972年诺贝尔经济学奖获得者艮J.加T0w在1951年提出的加T0w不可能性定理【·,3'6】。该定理不仅触及了当代政治生活和经济机制中敏感而深刻的问题,揭示了个人理性与集体理性问的矛盾,而且对过去50年里社会选择理论的研究和发展产生了根本的影响【2,】。早在18世纪,法国著名经济学家Condorcet发现遵循少数服从多数的规则就会出现被选对象无法比较优劣的问题。这就是著名的投票悖论,也被称为孔多塞效应【3'6】。Bo池也指出按照多轮受控多数规则会导致不合理的选择。从这些现象中可以看出,直观上可行的“社会选择程序”却潜伏着不协调性。20世纪50年代,著名经济学家加Tow发表了著作《社会选择与个人价值》,标志着社会选择理论的初步形成旧'6】。在他得经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中,采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究【2'6】。结果,他得出了一个惊人的结论:绝大多数情况下是——不可能的!更准确的表达则是:当至少有三名候选人和两位选民时,不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是:随着候选人和选民的增加,“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。这就是著名的Arr吣,不可能性定理【2.6】,加T0w由此获得1972年诺贝尔经济西南大学硕士学位作品 第一章绪论学奖。A玎c}w不可能定理一经问世便对当时的福利经济学和政治哲学产生了巨大的影响,惊袭众多福利经济学家。这种否定性理论遭到许多经济学家的怀疑。还有些如S锄melson
      (1967)等宣称,这种理论仅仅对政治方面有重大意义,对正规经济学没有太多的意义。更有一些人构建反例试图推翻不可能性定理。在国内随着民主化的进程,Arrow不可能性定理的相关研究也成为目前一大热点问题【·】。20世纪90年代,华中科技大学系统工程研究所罗云峰等人在多项国家自然科学基金的资助下,对基于加row不可能性定理的社会选择理论中的若干重要问题进行了深入的研究,并在社会选择理论研究及其应用方面取得了阶段性成果I-】。其著作《社会选择的理论与进展》在介绍社会选择的形式化描述和社会选择理论的基本框架结构的基础上,对社会选择理论研究中的相关问题及进展进行分析和评述。一些作品如:赵定涛,扶元广《社会选择理论的新进展》浙江大学学报(人文社会科学版);吉炳安,肖红梅,罗云峰《伪传递理性选择函数的展示偏好描述》华中科技大学学报(自然科学版);黄明“个人偏好与社会选择的相容性”(数量经济技术经济研究)……等多方面阐释集体决策和选举问题-刀】。此后,更多的经济学家以舡ow的研究为基础,继续探究集体决策和选举问题,寻找在哪些限制条件下能够使阿罗公理得到满足或者如何放松阿罗公理的限制以使选举可行(这些做法实际上放弃了“理想的”选举这一想法,等于承认了选举的不完美性),同样得出了许多重要成果。目前,社会选择理论研究己形成两大理论框架结构翩的社会福利函数框架和Sen的社会选择函数框架【21;研究内容上围绕三大不可能性定理(加T0w不可能性定理、防策略投票不可能性定理、Sen个人主权不可能性定理)为基本内容展开
      1.2.选题意义,目的及主要内容社会选择理论原本属于规范经济学的范畴,它主要采用公理化方法研究人类群体如何协调各种不同的价值标准——包括效率、平等、个人自由等等,其目的在于为我们的社会确立合理的目标体系【e,9】。但是,在研究中,规范经济学家们逐渐发现,公平分配问题中的矛盾和争论是不可避免的【9】。人类社会的各种集体决策是否能够真实反映个人偏好?我们能否找到对不同的社会状态进行公正的排序或评价的规则?各种选举规则能否保证如实反映选举人的利益诉求?这些都是涉及到人类社会福利水平的重要问题,同样也构成了社会选择理论的研究主题【,】。显然,社会选择是一个古老而又充满挑战的领域【I.9j。A盯ow不可能性定理用数理逻辑求解个人利益与整体利益的关系,不仅获得经●2西南大学硕士学位作品 第一章绪论济学诺贝尔奖,而且成为哲学社会科学中的一个根本性定理【l翻。√咖w提示,社会选择应当满足于个人选择的自由、社会选择和个人价值选择的关联等五个“自然条件”。棚证明不存在如何一种社会选择方法能同时满足以上五个条件。也就是说,人们根本不可能找到一个令人满意的选择【9】。对于社会选择而言,纯粹的个人民主及个人自由是行不通的;为了维护社会选择的价值选择或利益,一个超越与市场主体的“裁决者”把自己的价值判断强加给人们,看来是不可避免的【,】。不可能性定理揭示出如果将个人的偏好加总成社会的偏好,不存在一种理性的规则,即不存在集体决策的完美规则【l'6',】。社会选择理论的研究重点和主要内容基本上都是围绕阿罗不可能性定理展开,通过对该不可能性定理中一项或几项条件的修改,使不可能性定理转变为可能性定理【9】。森个人主权不可能性定理简单讲是指在社会选择中,对个人权利的尊重有可能导致个人主权与集体选择间的矛盾。防策略投票不可能性定理证明了任何投票选择程序在一定条件下,要么是可操纵的,要么是独裁的。该理论是社会选择的最基本理论,加Tow福利函数框架的核心定理。人们基于Arrow不可能性定理在给定理性假设的基础上,构造“理想”的合理指标体系,并设计(或寻找)满足该指标体系的社会选择规则和表决程序而服务人类。另外,“不可能性定理”获得诺贝尔奖,表明这个定理居于一定的真理性【-,7】。它对我们的启示是:在现实生活中,追求最优、最好、最理想、完善无缺、十全十美几乎是不可能的【刀。天下事,利弊相随,有利就有弊。打开窗户,在进来新鲜空气的同时,也会飞进苍蝇蚊子B71;建立和发展社会主义市场经济体制,也会带来人们过分追求物质利益,“一切向钱看”的负面效应;发展非公有制经济,搞股份制和股份合作制,有可能拉大贫富差距,也会给党的建设和工人阶级当家做主带来一些新的难题【7】。两难选择、利弊相随的事举不胜举。所谓鱼和熊掌“二者不可得兼,舍鱼而取熊掌也”【l’3,7】。—咖w不可能性定理证明了投票虽然不是通往民主的捷径,但是却加深了人们对民主制度更多的理解[t工sl。它有着深刻的现实背景,因此它有着广阔的应用前景。在方法论上:√6㈣w不可能性定理说明,自由必定伴随着约束;在历史观上:加T0w不可能性定理可以被理解为平等自由的个人意愿运作根本不可能被整合统一,即根本不可能形成社会意愿,而社会意愿也根本不可能满意一切社会成员的要求,个人与社会利益确实存在矛盾,二者的统一是有条件的[8】;在价值观上:mT0w不可能性定理也意味着个人的自由与个人的平等是存在矛盾的【3,8】;在经济学上:Arrow不可能性定理的推论之一,是市场投票机制也有局限性,它不能完全顾及全社会的整体目标【8】;西南大学硕士学位作品 第一章绪论在政治经济学领域:√咖w不可能性定理统一处理市场投票与政治投票的方式,实际上已经挖开用经济学理论说明政治学奥秘的通道,为新的政治经济学立定了一块基石【1,7,81;在福利经济学上:加row不可能性定理事实上进一步揭示了效率和公平存在矛盾(此即前述自由与平等的矛盾)【8】;-在政治学上:知Tow不可能性定理给亚里士多德关于民主制与“寡头制”应当互补的结论,提供了最新的论证;在社会思想上:加row不可能性定理可以说是绝对的个人人权论者和绝对民主个人主义者的理论基础【8】。本文从“础row不可能性定理的逻辑分析”入题,通过对加T0w不可能性定理背景、社会选择理论进展、社会选择福利函数到核心定理、定理形式刻画和逻辑证明为主要内容进行较为系统完整的讨论,分析A玎ow社会福利函数框架的基本结构,探讨知row社会福利函数框架的分析思路,明晰社会选择理论的基本问题、A玎(IW福利函数框架的核心定理及A11row不可能性定理在整个社会选择理论体系中的核心价值和重要贡献,并体现A玎0w不可能性定理深刻的现实背景及广阔的应用前景。本文的主要内容:先给出血T0w福利函数的相关语言、不可能性定理;所要解决的问题集中在第 三、四章,主要介绍A玎ow定理直观的两种证明和一阶逻辑逻辑对加row定理形式证明,刻画出不可能性定理公理系统构造出加row定理一阶逻辑的语言和模型,进一步得到其完全性证明。4西南大学硕士学位作品 第二章A仃ow不可能性定理第二章栅唧不可能性定理pagebreak
      2.1.基本概念:知Tow不可能性定理用数理逻辑求解个人利益与整体利益的关系,它不仅是是社会选择理论的一个重要理论,而且成为哲学社会科学中的一个根本性定理。在本节中,我们将介绍基本的社会福利函数的基本概念及定义,从而为我们在以后的章节中更好地讨论、证明A玳1w不可能性定理做个铺垫。为了讨论方便我们先介绍一些约定的记法及一些基本概念:令X为备选方案集,x,y,z∈X表不同的备选方案。R,P,I为备选方案集X上的二元关系。XI坶:x不劣于y;)【Py:x优于y;坶:x无差异于y。如果对于所有的x∈X:xI汉,那么R是自反的:如果对于所有的x,y∈X,x≠y:xRy或yRx那么R是完备的;如果对于所有的x,y,z∈X:()dRy/\yRz)_)此,那么R是传递的;对于所有的x,y∈X:xPyH()姆八一yRX),即P是非对称的,表示严格偏好关系;对于所有的x,y∈X:xIyH【Xl哼八y融】,即I是对称的,表示无差异关系:如果R是完备的,自反的,传递的,那么我们就称R是备选方案集x上的一个偏好序。用T(R)表示偏好序的集合。令N=(1,…,n)表示一个有限主体的集合,且IN|>2,i,j∈N表不同的两个个体,n元组(Rl,…,k)表示偏好的组合,其中Ri是个体i的偏好关系。
      2.2.社会福利函数和Ar嗍不可能性定理社会福利函数F将每一由n个主体偏好构成的偏好组合映射到一个偏好关系R上,该偏好关系代表聚合后的群体偏好关系:社会福利函数F:F(R1,…,如)=R∈T(R)显然F社会福利函数的定义域(D伽ain)是由所有可能的主体偏好关系的组合(Rl,…,&)构成的集合,每一主体i对于所有选项都有一个完备的且传递的严格偏好关系&,而对选项在主体的偏好关系中表现为什么样的传递顺序没有任何限制。F的值域(Range)是T(R),它只要求候选项按传递的顺序排列,也就是要求经社会福利函数聚合生成的群体偏好关系R具有传递性。西南大学硕士学位作品 第二章A丌ow不可能性定理A玎0w不可能定理同时还要求社会福利函数必须满足如下条件【6】:
      1.无限制定义域:F的定义域包括了备选方案集X上所有逻辑上可能的所有偏好主体序列的n元组。
      2.帕累托最优原则UN(1lIl锄im埘):对于备选方案集X里的任意两个备选项x和y,如果群里的每个主体都认为x严格优于y,那么x优于y。可用公式表示为:V(R1….,Rn)E’“x)nva∈xyb∈x(vieN aRib=争aF(R1.....Rn)bt
      3.无关选项独立性ⅡA(independeIlceofin.clevantaltematives):两个选项的排序仅仅依赖选举者如何对它们进行偏好排序,和其他选项的信息无关。可用公式表示为:v(Rl….,Rn)eTOO“v(Rl’…..Ib。)ET(x)ⅡvaExvb毫x(vi∈N(aI№营alUtb)j(aF(R1….。Rn)b营aF(R1’.….Rn’)b))。
      4.非独裁性ND(non.mctatorial):在F定义域内的所有偏好组合里,对于备选方案集X上的备选项a和b所有偏好对,群里没有一主体使得如果aPib,那么aPb。可用公式表示为:,暑ieNv(Rl….,鼬)ET《x)nF(R1,…,Rn)=砌无限制定义域要求主体的偏好序不应当被先验的被排除,甚至最奇怪的序列也要被考虑进去。帕累托最优原则UN(un加irnjty)规定如果群体内的主体一致都认为备选项x严格优于另一备选项y,那么由社会福利函数聚合得到的群体偏好同样认为x优于y。比起其他条件,无关选项独立性I队(ind印endenceof i玎elevantaltematives)或许有些难以理解,任意两个选项的排序仅仅依赖于选举者对它的偏好,具体的说,如果要考虑基于备选项(x,y)的偏好对,那么仅仅要考虑选举者对于这对备选项的主体偏好而不需要考虑其他备选项。最后,如果有一个主体的偏好就是群体体偏好,那么这个主体在偏好聚合程序里就是独裁者。而社会福利函数要满足的条件要求非独裁性。在A玎ow看来,他的社会福利函数四个条件(或者说五个,如果把作为一个序列的社会偏好关系被看做是一个单独的要求,即理性要求。)在主权和理性意义上来说是很有必要的。这几个条件看来是很合理的,但是mTow证明了满足这几个条件的社会福利函数不存在。西南大学硕士学位作品 第二章A丌0w不可能性定理Arrow不可能性定理:对于一个有限主体集和至少三个不同的社会备选方案,不存在一个同时满足条件UN,ⅡA,和ND的社会福利函数。上述定理就是著名的‘‘A盯('w不可能性定理”。它不仅是现代社会选择理论的最基本结论,更是姗社会福利函数框架的核心定理。西南大学硕士学位作品


      第三章Arrow不可能性定理的直观证明

     本章将从直观意义上对mT0w不可能性定理进行分析。通过对A盯ow不可能定理的直观证明使定理内部结构的逻辑蕴涵更为清晰,展示了最具有普遍概括性的理论。第一种证明是决策的蔓延从一个单一的严格偏好序对的个体集到所有其他的个体集,证明简单而又印象深刻。第二种证明揭示了定理无关选项独立性条件是如何受到限制的。定理的各种合理指标性质在相互作用下,某一个性质在某种程度上就会表现出很大的不可满足性。
      3.1.第一种证明这种直观的证明将展示一种清晰的证明方式,即,群备选方案一些序对上的决策蔓延到一个有穷备选方案集合的所有序对上的决策【3】。这种现象有时被称为蔓延特性。下面从对证明结果很有帮助的两个定义开始。定义
      3.1.1 对某备选方案x、y,如果主体集V(V∈N)中的每一i都有)【Piy而V外每一主体i都有yPiX,聚合得到的群体偏好为xPy,则称主体集V是有准决策权的(almostdecisive)。定义
      3.1.2对某备选方案x、y,如果主体集V(V∈N)中的每一i都有xPiy,聚合得到的群体偏好为)【Py,则称主体集V是有决策权的(deci8ive)。现在我们关注在特定个体J上,对于备选方案为x和y,用D(x,y)表示主体J是有准决策权的(almost decisive),用D枣(x,y)表示主体J是有决策权(decisive)的。很明显D幸(X,y)蕴含D(x,y),因此前者强于后者。证明的重点就在于传染理论。定理
      3.1.3对于有备选方案集(x,y)的序对,如果存在主体集J是有准决策权的(almostdecisive),一个满足条件UN,ⅡA,和ND的Arrow的社会福利函数F蕴含主体J必定是独裁性的。证明,假定对备选方案序对x、y,主体集J是有准决策权的(almostdecisive),即:存在x,y∈X,D(x,y)。令有第三备选方案z,i是群体中所有其他主体。根据无限制定义域条件,我们是完全自由地选择任意一个逻辑上可能的偏好组合。假定下面的偏好成立:)【PJy,yPJz和yPjx,yPiz。要注意的不是J的其他所有的主体对x和z之间偏好关系是不明确的。由于D(X,y),得到xPy。同时,由于有yPJz且任一非J的主体i有yPiz,根据弱Paret0准则得到yPz。然后根据传递性从xPy和yPz,得到)【Pz。我们根据无限制定义域条件开始,然后下一步把帕累托最优原则UN条件运西南大学硕士学位作品第三章—6㈣w不可能性定理的直观证明用到社会偏好关系的序列问题上。那么无关选项独立性条件呢?我们得到xPz没有任何关于除了主体J之外的其他所有的主体对x和z之间偏好关系的信息。当然我们假定yPix和yPiz,但是根据无关选项独立性I队条件,这些偏好在备选项x和z之间的群体决策里没有起任何作用,因此,)【Pz一定仅仅是】【PJz的后承,不管其他的序列(主体偏好假定为传递的)。这意味着对于备选项x和z,我们证明的第一步主体J是有决策权的(decisive)。我们得到:D(X,y)_D木(x,z)。第二步,再假定D(x,y),群体中所有主体的偏好为:峦Ⅸ,心搿和圩jx,yPix。注意到这次主体i在备选项z和y之间的偏好是不明确的。当然,我们从D(x,y)得到xPy并且从帕累托最优原则UN条件得到zPx。根据传递性产生zPy。类似于-先前情形的一个论断,运用无关选项独立性条件,证明zPy一定仅仅是zPJy的后承。因此得到D(x,y)_D木(z,y)。为了证明传染现象,我们继续顺着开始的两个步骤的线索。我们通过用备选方案的排列来证明。例如,因为我们已经证明了D木(x,z),因此D(x,z),我们在[D(x,y)一D木(z,y)】中互相交换y和z,并且证明D(x,z)蕴含D嗥(y,z)。在我们的定理证明中其他互相交换提供更多的步骤。在第一步和第二步中给出的是语言的证明,下面以一种较图表的方式,重复第一和第二的步骤,来证明定理。在下面的图表中,x_÷y代表x优于y,卜y代表y优于x。1.J:x_y_zi:x+-y—zXPy,yPz_)【PzD(x,y)_D辜(X,z)一D(X,z)2.J:z—x—yzPx,xPy—zPyi:z_x卜yD(x,y)一D木(z,y)_D(z,y)3.J:y_x_zyPx,)【Pz—yPzi:y_x卜zD(x,z)_D·(y,z)-÷D(y,z)西南大学硕士学位作品 第三章A丌ow不可能性定理的直观证明4.J:y—z—xyPz,zPx_÷yPxi:y卜z—xD(y,z)_D幸(y,x)_D(y,x)5.J:z_÷y—xzPy,yPx_才xi:z_y+.xD0,x)一D宰(z,x)_D(z,x)6.J:x_z—yxPz,zP),一)【Pyi:x卜z_yD(x,z)_D奉(X,y)_D(x,y)图表从D(x,y)开始的,对于三元备选方案(x,y,z)的每一个序对和给定条件UN,ⅡA,和ND,主体J是有决策权的(decisive)(继而有准决策权的a11nostdecisive)。因此主体J是对于任意包含x和y的三个备选项的一个独裁者。这种传染特性能扩展到超过三个备选项的例子中吗?回答是肯定的。不用提供太多的证明就很容易看到这是很具有推理性的过程。下面看一下四个元素的情形,x,y,u和v,u和v是完全不同于x和y的。我们从三元(x,y,u)开始,根据上面的结论,和无限制定义域条件,我们可以得到D木((X,u)和D(x,u)。再取三元(X,u,v),因为有D(x,u),接着就可以得到D木(u,v)和D木(v,u)。所以,对于一些x和y的D(x,y)蕴含对于所有可能的序对(u,v)的D木(u,v)。因此,对于任意一个有穷的备选方案集这种传染理论都成立,定理得证。被证明了的定理的逻辑后承是:我们在备选方案集的一些序对上不允许一个主体是有准决策权的(almost decisive),因为这将和非独裁性条件相抵触。我们因此假设不存在主体准决策(almost decisive)集。那么将产生矛盾:我们证明的结构是给定的根据条件UN,ⅡA,和ND,和函数上序对的性质。根据帕累托最优原则UN,对于所有主体集上任意序对(x,y)至少存在一个有决策权(decisive)集,所以,至少存在一个有准决策权(almost decisive)集。在所有主体集对于备选方案的一些序对是有准决策权(almost decisive)集之间,选择最小的一个(不必是独特的)。根据定理的结论,它必定包含至少两个个体,因为一个有准决策权(almost decisive)主体的情形下将产生独裁,证明完成。我们令这个备选集为V且V集为(x,y)的有准决策权(almost decisive)。我们把V集分为两部分:Vl仅包含一个单独主体,V2包含所有其他主体。令V3是V集之外的主体。根据条件U,我们假定有下面的偏好组合:10西南大学硕士学位作品 第三章Arrow不可能性定理的直观证明对于V1中的i: )【Piy和yPiz对于V2中的所有j: zPjx和xPiy对于V3中的所有k: yPkz和zPkx。因为V是(x,y)的有准决策权的(almost decisive),所以可以得到xPy。那么zPy能成立吗?如果这种情况成立,那么根据无关选项独立性ⅡA条件V2将会是(z,y)的有准决策权的(ahnostdecisive),由于zPjy并且V1和V3中所有的其他主体都有y优于z。然而,根据我们的假定,V是最小的有准决策权的(almostdecisive)集,而且V2是一个严格的V的子集。因此,zPy是不可能的,所以yPz。现在根据群关系的传递性得到XPz。那么仅有一个个体的Vl将会是有准决策的(ahnostdecisive),这将会和我们最初的假设相矛盾。根据定理,不可能性定理得证。要注意的两点是,上面使用的偏好排列组合形式被称为投票悖论。再有就是V3里主体的偏好在我们的证明是不需要的。pagebreak
      3.2.第二种证明这个证明是基于无关选项独立性和帕累托最优原则的性质来证明√6mw不可能性定理【3】。证明从假定一个无穷备选方案集X和在这些备选方案上有严格的偏好序的n个主体开始。我们从备选方案集X里取任意两个不同的各选项a和b。第一步,对于每一个主体i∈(1,…,n)备选项a是排序最高的,备选项b是排序最低的。帕累托最优原则UN要求备选项a是严格在群偏好序的顶部。现在想象备选项b是上升的,一步一步或一列一列,到主体l序列的顶部,而其他各选项的排列仍旧未改变。根据条件帕累托最优原则,备选项a或者仍保持在群序列的项部或者被备选项b替代。如果备选项a仍保持在群体序列的项部,在主体2的排序里上升备选项b直到它到达到顶部,然后在第三,第四,……主体的排序里一样上升备选项b直到它到达项部。根据帕累托最优原则条件当我们上升备选项b到达每一个主体排序时,在最后,群体关系将排列b在a之上。现在我们关注主体m这个地方,备选项b上升到主体m的序列顶部之上之后,b第一次群偏好优于a。表格3.2.1和
      3.2.2表现分别是备选项b上升到主体m的序列顶部之上之前和之后的状态。表3.2.2R1…阶1Rm Rm+1…Ibb…bba…aa a a。 ‘群体序列Rba第二步,我们把下面的变化引入表格3.2.1和3.2.2。我们把备选项a移到i<m的主体i的序列的最低位置,移备选项a到i>m的主体i的序列的第二低位置。对于表格3.2.2,我们意识到向下移动a不会改变备选项b和其他任意一备选项之间的任何关系。因此根据无关选项独立性ⅡA条件,在群体序列中备选项b一定保持最高排序。表3.2.1和
      3.2.2移动备选项a后两种新的序列状态表l'和2’之间唯一的不同在于备选项a和b在m上的序列位置。因此,根据无关选项独立性IL~,在新的序列状态表1’里各选项b一定优于除了a之外的其他选项。但如果备选项b是在新的序列状态表1’里群体排序至少和备选项a一样高,又根据无关选项独立性ⅡA条件,b将在表
      3.2.1里群体排序至少和备选项a一样高。但这将与第一步里得到的内容相矛盾。因此,在新的序列状态表1’里,备选项a是群体排序最高的。第三步,我们考虑任意一个不同于备选项a和b的第三个备选项c。在新的序列状态表l’里备选项a在i<m的个体排序最低位置,在i>m的主体排序第二低位置。个体m在排序最高的位置是备选项a。在表格
      3.2.3里我们构造了一个偏好组合使得:在任意主体序列里,备选项a与其他备选项的关系的排序,保持与在新的序列状态表l’里一样。有这样一个偏好组合,每一个主体都有备选项c排列在备选项b之上。但是根据帕累托最优原12西南大学硕士学位作品 第三章A丌(’w不可能性定理的直观证明则UN条件,备选项a仍就是群体排序最高的。表3.2。3R 1…黜n_1RJnRm+l …Rn群体序列R第四步,以下面的方式修改表格3.2-3里的偏好组合,一个改变:对于i>m的主体,给备选项a和b的排序进行对换。这种变化的结果是什么呢?根据无关选项独立性ⅡA条件,所有主体对于a与除了b之外的所有选项的排序都不变。各选项b能成为群体的最高排序吗?回答是否定的,因为由于帕累托最优原则UN条件,备选项c一定群体偏好优于b。因此,备选项a是在群体序列的最高处,备选项c群体排列在b之上。第五步,我们构造一个在主体m的序列里备选项a在b序列之上的独裁偏好组合。例如,如在表格
      3.2.4里一样,在主体m的序列里备选项c在备选项a和b序列之间,而其他主体序列里备选项c都在顶部。无关选项独立性In条件不允许备选项c的排序对各选项a和b之间的群体排序有任何影响。相对于c来说a的排序如在第四步里一样。根据我们在第四步里的推论,由帕累托最优原则UN条件备选项a一定排序在c上,并且c最优一致与b。因此,根据群关系的传递性,备选项a优于b,并且无论什么时间主体m的序a在b上都成立。表3.2.4R 1…Rm一1 Rm RJn+1…Rn群体序列RaCb在上面的证明中如果我们改变被选方案b和c的排序,我们将得到相同性质a. . . .. .C ab. .C aba Cb. ....Cba. .C-lUaa.C.bC. .baC..baC. .baC. .ba西南大学硕士学位作品 第三犟Arrow不可能性定理的直观证明的结果。我们看到,主体m对备选项a的排序在备选项c之上,这与群体对a和c排序是一致的。并且对于任意一个不同于a的备选项(如b)的排序也与群体排序一致。说明主体m是独裁的。在上面的分析中,a是在第一步被任意选中的。显然,对每一这样的选择都有一个独裁者。我们还可以有不同的选择,对不同的选择就有不同的独裁者吗?答案是否定的。因为群体偏好序只有一个,而不同的独裁都一定有不同的偏好序,二者矛盾。因此,对任一群体偏好序而言,一定有且仅有一个独裁者。这一证明说明mTow社会福利函数在无限制定义域内不可能同时满足帕累托最优原则UN、无关选项独立性ⅡA和非独裁性ND条件。14西南大学硕士学位作品 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明第四章衙ow不可能性定理的一阶逻辑形式证明知Tow不可能性定理是社会选择理论的一个重要理论。理论指出,在一定固有条件下,把一个有限个体集的偏好聚合成一个群偏好序是不可能的[6】。可以用一阶逻辑语言形式化这一理论,从而简化A玎0w不可能性定理为一个命题:一个给定的一阶公式集没有一个有穷模型。最终希望这种形式化能为加Tow不可能性定理的完全自动推理证明提供帮助,成为社会选择理论的一个相似理论。至少在一个固定的个体量的情形下,证明这种情况是可能的,作为这一理论自动推理工具的最初尝试【4】。社会选择理论是关于集体决策理论的设计和分析方法的数理经济学的一个分支。趾T0w不可能性定理是这一领域内的一个经典理论。不可能性定理指出,在一定固有条件下,把一个有限主体集的偏好聚合成一个群偏好序是不可能的。近年来,在社会选择理论中有很多著作专注于形式化的研究。人们对数理逻辑、自动推理到社会选择这类应用工具性理论产生广泛的兴趣,主要原因有:首先,一个问题理论论域的形式化能帮助我们对该理论论域的更深理解。比如,在社会选择理论中,形式化能阐明推演一个描述性理论设想的精准性。.其次,一个完全形式化、自动推演证明能确保一个理论的正确性。正如B1肌f1957)指出的那样,mrow的证明包含了一个错误;这是公认的并且在加T0w著作的第二版中得到修证。标准式的证明是否在充分的细节上加以证明?我们当然不想去解释社会选择最重要的理论不是以合理的基础为依据。然而,对于新的校正方式和不够充足的研究理论,自动推理就是一个很有用的工具。最后,社会选择理论自动推理的使用很有可能完全揭示出新的理论。例如,当我们弱化或改变其中一些公理,或者通过使用模型生成元去自动推演反例时,我们就能设想使用自动推演理论去验证不可能定理所承载的理论将变为可能。文献‰gandLin
      (2009)在基于一定的受限范围下使得这种理论得以实现。以前有很多理论著作中讨论过使用模态逻辑和集合论语言形式化知粥,不可能性定理。本章节用经典的一阶逻辑FOL系统去塑造—咖w不可能性定理的模型框架。把兴趣放在FOL而非其他系统上的理由是:以偏好模型为核心的线序是一种自然语言。相对其他系统来说,FOL在自动推演上更具有先进性。我们能够证明,在描述线序语言的一阶逻辑FOL系统里,棚不可能性定理等值于一个特定有穷一阶公理系统,但它却没有有穷模型。西南大学硕士学位作品


      第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明
      4.1.一个基于归纳论证的新的证明本节将回顾√6帅w不可能性定理和它表达的社会福利函数结构,讨论‰gandLin
      (2009)的理论中给出了—6啪w不可能性定理的一个基于归纳论证的新的证明,即在最基础的情形下使用自动推理工具自动验证,证明如何生成的一个弓l理(1eIrlIIla)和需要排序的一个无限备选方案集的情形。令X为备选方案集,R为备选方案集X上的二元关系,且R是完备,自反和传递的。T限)表示所有偏好序的集合。其中Ri是个体i的偏好关系。令N为有限主体集,n元组(R-,…,&)表示偏好的组合,T(R)n表示偏好组合的集合,一个在备选方案x和主体集N上的swF社会福利函数为:F:T(R)“_T(R)。一个社会福利函数SWF聚合机制要满足的几个性质【6,10·15】:第一个性质是普遍定义域,F的定义域包括了备选方案集X上所有逻辑上可能的所有偏好主体序列的n元组。另外三个性质:IJN:(衄如im姆)如果每一个主体认为选项a优于b,那么群偏好也将认为选项a优于b,即F满足一致性原则。ⅡA:如果两个被选方案a和b的群排序仅仅依赖于他们每一个个体的相对排序,那么F满足无关选项独立性原则;舳:在F定义域内的所有偏好组合里,对于备选方案集X上的备选项a和b所有偏好对,群里没有一主体使得如果aPib,那么aPb,F则满足非独裁性条件。mrow不可能性定理表达为:定理4.1.1:如果备选方案集x和主体集N是有限和非空的,并且IXl23,那么不存在二个满足条件UN、ⅡA和ND的在备选方案X主体集N上的社会福利函数S岍。A玎('w不可能性定理的几种重要证明【1l’12,18】大都是在给定任意主体集和备选项集的普通论证。一种新的推演证明:即在最基础的情形下使用自动推理自动验证。通过证明两个引理(1emma)去简化定理为3个备选方案和2个主体的基本情形,最后一步通过使用限制使用程序或可满足性的验证程序(s01ver)而去验证证明【6】。第一个引理(1enHna)是在被选方案数量上的归纳步骤“如果存在满足√咖w不可能性定理性质的m+1个备选方案和n个主体的一个社会福利函数S岍,那么也将存在满足—心row不可能性定理性质的m个备选方案和n个主体的一个社会16西南大学硕士学位作品 第四章A玎ow不可能性定理的一阶逻辑形式证明福利函数S、)l,F。”这个引理(1e姗a)的倒置将会把“不可能性”这个性质从最基本的情形带到每一个有穷的被选方案集:“如果对于3个备选方案集和n个主体集的情形下J咖w不可能性定理成立,那么对于m个备选方案集和n个主体集的情形下mT0w不可能性定理成立。”现在证明也包含一个无穷备选方案集情形下的这个引理(1ema)的概论:引理(妇曩)4.1.2:如果对应于备选方案集X和主体集N,并且IXl23,存在一个满足UN,ⅡA和ND性质的社会福利函数S骄,那么对应于一个备选方案Xt且lX-I=3和主体集N上,存在一个满足相同性质的社会福利函数SWF【13】。证明,令Xf_(al’a2,a3)是X上一个包含三个不同备选方案的任意集,X’上的每一个线序P能被扩展为X上的一个线序Pc,定义对应于X’和N的一个社会福利函数SWf’为:xf’(Dy:§xf(豳y这里旦是X’上的一个偏好组合,堡是X上任意一个扩展的一个偏好组合。根据无关选项独立性原则ⅡA这个定义不受扩张选择性影响;根据定义f’将保持一致性原则和无关选项独立性原则。需要证明的是f’是非独裁的。假设相反:f’是独裁的,我们证明f也是独裁的。与假设矛盾。令i(i∈№是函数f’上的独裁者,x和y是X中的两个不同的备选方案,假设xPiy在偏好组合旦上。需要证明x迎)y成立。x和y是X’中普通的两个各选方案,al和a2是XI中不同于x和y的两个不同元素。令个体i改变它的偏好关系使得alPia2,得到一个偏好组合里。令每个主体(包括i)重新排列他们的偏好关系使得】【Pfal和a2Pjy称这个偏好组合里”,这两步是在不影响最初x和y的排序下进行的。因此,根据I队,xf(勤y当且仅当xf俚”)y。根据f的一致性性质有x f巴’)al和a2f巴’)y。由于i是X’上的一个独裁者,那么a1f巴’)a2成立。因此根据传递性得到x f巴’)yf所以x f(P)y成立。这个引理(1emma)的倒置“:如果在3个备选和n个体的情形下A仃0w定理成立,那么在任意一个超大备选方案集X(包括无穷情形)和n个主体下A盯('w不可能性定理也成立。pagebreak
      4.2.公理系统为了从逻辑上证明J咖w不可能性定理我们需要构造一个逻辑系统,本小节要首先构造一个形式系统,使得它能够为加Tow社会福利函数建构模型。在塑造社会选择理论出现过这类难题,对—协ow不可能性定理进行一阶逻辑公理系统形式化时,有些二阶逻辑的迹象,而我们不需要任何形式的二阶量化,本文的公理西南大学硕士学位作品 第四章A丌ow不可能性定理的一阶逻辑形式证明系统参考了TangandLin(2009)、G捌【ldi趾dEndriss.First-Order LogicFo姗alisationof加Tow’sTheorcln等一些相关文献。塑造加T0w不可能性定理的社会社会福利函数模型框架的形式系统要引入一个情景集(thesctofsituation),用它来标注不同的偏好组合,用一元谓词S来表示,然后通过量化相关集合,就得到一个一阶公理系统【5】。’用里u表示与情景u相关的偏好组合序,一阶符号L=(a1,a2,a3,il,sl,X‘”,N‘1J,S‘p,p‘掣,f‘3’)定义如下:(1)al’a2,a3是常元,表示三个不同的各选方案,il一个主体,sl一个情景;(2)X、N和S是三个一元关系,分别表示:备选方案集、主体集和情景集(S);(3)P是一个四元关系,若z是一个主体u是一个情景,£zu表示主体z在情景u下的偏好序:(4)f代表社会福利函数,是一个三元关表,对每一情景u,贮)表示与u相关的群体偏好关系。运用语言L引入第一个公理L聊,它是关于线性序p(1诅e盯ord盯)的公理:(1)N(z)入S(u)八x(X)入X(y)_(p(z,x,y,u)Vp(z,y,x,u)Vx动(2)N(z)八S(u)/\X(X)一-p(z,x,x,u)(3)N(z)八S(u)八X(X1)八X(x2)八X(x3)八p(z,xl,x2,u)八p(z,x2,x3,u)—巾(z,xl,x3,u)在这部分的所有公理都可认为是普遍封闭的。因为第一个公理应读作:“对所有的z,u,x和y,如果z是一个主体,u是一个状态, x和y是备选方案集,那么主体z在状态u下认为或者x优于y,或者y优于x,或者x等于y'’,这是一个完备(连通)公理,第二和第三分别是非自反和传递性公理。第二个公理是关于社会福利函数f(·,·,u)的公理L】啉f.(1)S(u)八X(X)八X(y)—÷f(x,y,u)Vf(y,x,u))Vx=y(2)S(u)八X(x卜1f(x,x,u)(3)S(u)八X(x)八X(”八AXc)八f(x,y,u)八地t,u)一坟x,t,u)下面两个公理集保证至少有3个不同的备选方案,il是一个主体,sl是一状态,并且X,N和S形成了一个模型论域的一个划分:M町N:X(a1)/\X(a2)八X(a3)八N(il)八S(s1)-1(al=a2)八一(a1=a3)八一(a2=a3)西南大学硕士学位作品 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明nU盯: X(x)一(—'N(x)八一S(x))N(x)—◆(—'X(x)/\一S(X))S(X)—÷(—’N(x)八—X(X))x伍)VN(x)VS(X)。下面两个各两个公理刻画了变元p和f的类型:DEF:p(z,x,y’u)_(N(z)八X(X)八X(y)八S(u))f.(x,y,u)—·(X(x)入X(y)入S(u))下面两个公理保证两个不同的情景不能编码同一个偏好,因此状态对偏好的编码必须是单射。INJ:S(u)八S(v)/\(u≠v)_|z.j x.jy.[N(z)八X(x)八X(y)八p(z,x,y,u)八p(z,y,x,V)】为了表达普遍论域的条件,在我们的语言中,为了能够量化整个状态集,要引用另一概念:同一T(X)为与对称偏好组S(X)各选方案X上的所有排列,并且通过换位而生成。PE瑚公理如下:(1)p(z,x,y,u)一jv.{S(v)八p(z,y,x,v)八(2)Vxl.[p(z,x,xl,u)八p(z,xl,y,u)—巾(z,xl,x,v)八p(z,y,xl,V)】八(3)Vxl.【(p(z,xl,x,u)_p(z,xl,y,V))八(p(z,y,x1,u)_p(z,x,xl,V))】八(4)Vxl.Vyl.【(xl≠x)八(xl≠y)八(yl≠),)八(y1缸)_@(z,xl,yl,u)Hp(z,xI,y1,V))】八(5)Vzl.Vxl.Vyl.[(zl≠z)_O(zl,x1,yl,u)Hp(zl,xl,yl,V))】)这个公理的复杂性很大原因在于线序表现的是一种二元关系。给定Pi不是X中元素的一个序而是X2的一个子集,所以在给定的一个状态一个主体z和两个备选方案x和v,必须要存在另一个状态使得:(1)x和y的关系位置在Pvz中是转换了的:
      (2)如果在Puz中xl是在x和y中间的一个备选方案,那么它的位置相对于x和y在P,z是转换的;
      (3)如果在P。z中xl优于x,那么在Pvz中它优于y(x一样);如果在P。z中xl不优于y,那么在Pvz中它不优于x(y一样);
      (4)对于不同于x和y的每对备选方案的关系位置是复制的;
      (5)对于每一个体z’≠z都有Pvz’_Puz’。把包含以上所有公理的理论称为T1岍,它概述了社会福利函数的性质。加上19西南大学硕士学位作品 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明下面的三个公理,我们就得到了‰w理论:UN:S(u)八X(x)八X(y)一[Vz.(N(z)-÷p(z,x,y,u))叶f(x,y,u)】ⅡA:S(u1)/\S(u2)八X(x)/\X(y)_[Vz.(N(兰)_0(z,x,y,u1)Hp(z,x,y,u2))卜(f(x,y,u1)Hf(X,y,u2))】ND:n(z)一jx.j y.ju.【S(u)八X(x)八X(功八p(z,x,y,u)八f¨y,x,u)]A衄)w不可能性定理可表达为:定理4.2.1:TARROW没有有穷模型。(这个定理是命题
      4.3.3的一个直接结果,一旦我们证明了Ts岍的每一个模型都对应着一个社会选择函数,这将充分地验证m∞w不可能性定理三个性质公理进而去证明定理
      4.2.1.等值于加T0w不可能性定理。)
      4.3.在无穷域内讨论知?嗍不可能性定理在上部分我们将社会福利函数的理论形式化得到TTwF。下面我们通过证明公理化了这类(满足封闭一定域条件下的偏好集社会福利函数)TTwF来证明这类函数。根据平TwF的每一个模型Mf有着一个社会福利函数f去证明一个完备性理论。这样我们就能确定某种限定范围上的—6mw不可能定理能被自动证明。尤其重要的是在无穷论域里证明姗不可能性定理不成立的问题。两种方法攻克这一难题,第一,限定主体的数量。第二,基于飚玎n锄and Sondennann(1972)【13】的一个理论。现在假定有一个非空的且至少包含3个元素的备选项集和一个非空主体集。h岍的一个模型是形如M=(M,al,a2,a3,il,sl,X,N,S,p,f)的一个结构。定义4.3.1:如果f是一个关于备选方案集X和主体集N的社会福利函数S岍,那么Mf是如下的L模型:·
      (1)全域M=XUN ULX;是对应于三个一元关系X,N和S(特别是集合S等值于所有的偏好组合T(X)N时)的不相交并;(2)al,a2,a3是三个不同的备选方案,i1是主体,sl是一个偏好组合;(3)(z,x,y,u)∈p营x Pzuy,其中Pz”是关于主体z在偏好组合状态u上的偏好关系;(4)(x,y,u)∈w§x f(&)y。如果X是有穷的,那么模型Mf在某种意义上是唯一的,依赖于对常项的选择。而当X是无穷的时候,它就不能从f建立起来一个唯一的模型。为了得到一个完全的刻画,我们需要如下的定义:西南大学硕士学位作品 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明定义
      4.3.2.给定~个集合x,令S(x)表示x上所有排列集合。一个换置就是将集合中仅两个元素进行交换的一个排列。G互S(X)在换置下封闭,当且仅当如果g∈G,那么对任意一个换置t都有g。t∈G。由定义可知,如果X是有穷的,那么封闭在换置状态下S(X)的唯一子集是S(X)本身。‘令f是备选方案X的一个无穷集合上的一社会福利函数SwT。我们已经明确同一T(X)集为备选方案X上S(X)的所有排列。用定义    3.1构造模型,对于每一个个体i∈N,封闭在置换状态下的GicS(X)的每一个选择都有一个T僻的模型,除了状态集是笛卡尔积S=皿∈NGi。这种定义在有穷情形下停止在定义3.1,因为对于每个个体,T(X)是唯一可能的选择。下面的完备结论证明了这些是秆盯的所有可能模型:命题4.3.3.M l_Ts肝当且仅当如果存在着两个非空集x和N,且lXI≥3,有一个备选方案集X和主体集N的社会福利函数S骄w使得M=Mw。证明:很容易证明Mf是Ts耵的一个模型。重要一点是状态集S或是所有偏好组合集合或是封闭在换置状态下S(X)的子集笛卡尔积S=:JIi。NGi。这也充分地证明了PEI蝴公理。现在假定MI_fs岍。定义备选方案X和主体集N两个集合为代表一元关系的整个论域的子集,对于状态集S中的每一个元素我们都有一个偏好组合,一个偏好关系pM里的排序。从偏好关系函数fM我们能定义一个偏序社会福利函数(aPaniaISWF),它的论域是在状态集S里编码的所有偏好组合的集。根据PERM公理,如果我们在每个主体i上取G的映射函数,用Gi表示,我们就得到一个封闭在换置状态下的线序集合。因此G就是形如JIi。NGi的集合,那么M=Mf。一个类似定义     4.2.1的结论尽管有它的理论价值但没有实用价值,最终目标是在社会选择理论里使用自动推理,寻求能被我们的理论形式推演的,一个语句表达的,形式化加row不可能性定理。证明TARRow的不协调的最初尝试失败,是因为An.0w不可能性定理在一个无穷主体量的情形下不能成立(Fishb啪1970)【ll】。一个无穷备选方案量的问题被引理(LellⅡna)     4.1.2替代解决。用我们的结构解释Fishb啪的理论【13】:存在Ts岍一个的无穷模型M使得MI_唧N八ⅡA/\ND)。由于没有刻画有穷模型的一阶公式(seee营Shocn6eld,1967)【14】,我们必须设法避免这个问题。.一种可能就是放弃一般性,在语言中固定主体的量【15】。因此令新的语言Ln为Lu{i2,…,in)(矿1个新的常数),丰sⅥ的所有公理加上下三个公理称为弧wFn理论:西南大学硕士学位作品 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明(1)· ik≠ij对于每一个k≠j(2)· N(i2)八…八N(in)(3)· N(z)—哼(z=il)V…V(z=in)用一个类似命题
      4.3.3的证明我们就得到一个理论丰swFII(基于定义在n个主体i集上的S岍s)。下面有助于自动推理的命题成立:命题
      4.3.4.如果f是一个X和N且IXI≥3,INI=n的S岍,那么MwI=一删八ⅡA/\ND),因此,对每一个n都在Ts科中有一仲(UN八ⅡA八ND)的证明。证明相近于引理(Lemma)4.1.2,那个证明在一般情形里没有使用普遍论域的条件:每次定义一个新的组合,一直是在用备选方案序对中转换的一个有穷序列构造。因此封闭在置换状态的条件保证结论扩展到定义在一个有穷N集的每一个模型Mf上。第二种间接方法:推演出一个TARRow的后承,由其导致模型是无穷的。 pagebreak


      4.4.小结
      我们给出了缸row社会福利函数的一阶公理系统,公式化A盯('w定理陈述的 结构。我们简化非平凡的条件为一阶陈述,例如普遍定义域和ⅡA。通过证明一个 引理,即简化不可能性为3个备选方案的情形,解决一个无穷备选方案量的问题。 证明了,如果在我们的语言中固定个体集的量,那么就可用我们的公理形式推演 Arrow不可能性定理,我们用一个间接的方法形式化一个可能无穷的主体集的数量。

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